Il lato oscuro della matematica: 1+ 1 = 1

“Io ne ho viste cose che voi umani non potreste immaginarvi,
il numero di Nepero con 55 cifre decimali,
e ho visto gente passare la propria vita nella vana speranza di calcolare il π.
E tutti quei momenti andranno perduti nel tempo come lacrime nella pioggia.
È tempo di morire.”

Ho usato indegnamente la famosissima frase di Rutger Hauer del film Blade Runner per introdurre un argomento che stupirà molti di voi.
Da piccoli ci insegnano che le operazioni in matematica sono 4: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Poi scopriamo le potenze, poi le radici quadrate, poi le formule esponenziali, poi i logaritmi, i sistemi, le derivate, gli integrali, le matrici, le serie, ecc…
Nei miei anni di università ho imparato a non stupirmi più di nulla, ma ho pian piano scoperto che la matematica ha diverse lacune, numeri indeterminati o impossibili da calcolare, che vengono “occultati” con delle convenzioni o con le approssimazioni.
L’esempio più lampante? Lo conoscono anche i bambini e si tratta della suddivisione del numero 10 ( o dell’ 1 o multipli di 10) per il numero 3:
10/3 = 3,33333333333… infiniti numeri perchè ogni successiva divisione del resto darà sempre 3
Bene, ragionando secondo “Madre Matematica” all’infinito ci sarà sempre un numero 3 come cifra. E se moltiplichiamo il numero ottenuto per 3?
3,33333333333…. x 3 = 9,9999999999…. non più 10
Ecco, questo problema è stato prontamente ovviato dicendo che dobbiamo vederlo come frazione e non come numero decimale, cioè 10: 3 = 10/3 e basta! Oppure, altra frase che mi è stata più volte detta, ci si deve fermare al grado di precisione desiderato, perciò 10: 3 = 3,333 o 3, 333333333 o ancora 3,333333333333333333. In ogni caso il numero è errato secondo la concezione razionale.
Un secondo esempio che posso farvi altrettanto famoso è il valore del PIGRECO. Molti di noi, per lavoro, per studio o a scuola, usano questo simbolo per indicare la costante che proporziona gli elementi circolari e la formula più famosa è il calcolo della circonferenza: C = 2Rπ.
Ora, ad esempio la circonferenza di un tubo la sappiamo misurare con un metro da sarta o un metro da muratore, no? Eppure il PIGRECO è indefinito (badate: ho proprio detto indefinito!) . Si tratta di un valore con infinite cifre dopo la virgola che non hanno un periodo, ovvero che non hanno mai un gruppo di cifre che si ripete costantemente.
Quanto vale PIGRECO? 3,14… Qualche mente più brillante si spinge oltre e dice 3,14159…
Il 2 Agosto 2010 un matematico giapponese, Shigeru Kondo, è giunto all’impressionante calcolo di 5.000.000.000.000 di cifre (5 mila miliardi!) dopo la virgola.
Vi potrei citare numerosissimi esempi di numeri indeterminati o funzioni impossibili da risolvere, ma mi fermo qui perchè il mio scopo è un altro. Parliamo cose più semplici e dirette, che tutti vediamo e abbiamo sentito.
Sin dagli anni dell’asilo ci insegnano che:
1 caramella + 1 caramella = 2 caramelle
Ecco, ora immaginate la mia faccia quando il mio professore di Analisi I, dopo una dimostrazione che ha persino del banale, ha dimostrato sulla lavagna a me e a altri 356 allievi del primo anno di università che 1 + 1 = 1
Non ci credete? Ecco la dimostrazione ( molti di voi, che abbiano fatto anche solo un paio di anni delle superiori la capiranno):
Prendiamo due numeri diversi da 0 che siano uguali, per comodità li chiamiamo a e b:
a = b
Moltiplichiamo entrambi per a:
aa = ab
Sottraggo ad entrambi b2:
a² – b² = ab – b² scritta anche come aa – bb = ab -bb
Questa equazione di secondo grado (non preoccupatevi, non farò nulla di strano) può essere riordinata in modo da avere una aspetto più comodo a chi mastica matematica. Ora la riscrivo, ma è esattamente la stessa.
(a + b)(a – b) = b(a – b)
Molto più semplice da visualizzare. Ora divido entrambi i membri per il fattore in comune, così me lo tolgo, cioè (a-b):
a + b = b
Eccoci al dunque ragazzi: abbiamo detto che a = b quindi posso scrivere, ad esempio, al posto di b il valore a.
a + a = a
Questo cosa vuol dire? Che se a= 1 ad esempio ( ma si può fare con qualsiasi numero), ottengo:
1 +1 = 1
Ecco, la mia espressione e quella di tutti gli altri allievi era come quella che avreste voi se vi alzaste al mattino e la prima cosa che vedreste aprendo gli occhi fosse un bazooka puntato in faccia pronto ad esplodere! Tutte la basi ferme con cui ero cresciuto, anni e anni di studi, equazioni da risolvere, limiti, serie, matrici, per poi arrivare a cosa? Tutti i numeri sono uguali uno all’altro…
Il nostro professore, uomo molto saggio, ci spiegò che nella dimostrazione c’era un’ipotesi errata, che a sua volta portava ad un’operazione che non si può fare. Il passaggio errato consiste nella divisione per (a-b), perchè avendo supposto che a = b la divisione non si può effettuare, dato che non si può dividere per zero.
Ho scoperto poi che non è affatto vero che non si può dividere per zero: semplicemente la divisione per zero da un numero indeterminato.
Si sente spesso che un numero diviso 0 da infinito perché in analisi matematica, per dare un senso alla cosa e quindi fornire una “convenzione”, si introduce il concetto di “intorno”, ovvero di vicinanza ad un punto: dire “divido per 0” in realtà vuol dire “divido per un numero molto piccolo, che si avvicina a 0 quanto voglio ma non è mai 0”. In questo caso il risultato è arbitrariamente grande (provare per credere), ma non si divide mai veramente per 0. Si usano però delle notazioni che sottointendono questo processo limite di avvicinamento.
Quindi, concludendo, la divisione per zero è possibile e la dimostrazione contraddice tutte la basi da noi studiate.
La soluzione a questo paradosso? Fate finta di nulla e continuate a prendere per buono le convenzioni e gli arrotondamenti che i matematici forniscono, altrimenti rischiate la pazzia.

FONTE: Misteri dal Mondo – Credere Per Vedere